Окончил в 1986 году Красноярский государственный медицинский институт по специальности "Лечебное дело". В 2006 году окончил Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева по специальности "Менеджмент организации".
Алексей Подкорытов врач высшей квалификационной категории по специальности "Организация здравоохранения и общественное здоровье", доктор медицинских наук.
Трудовую деятельность начал в 1986 году врачом-интерном республиканской психической больницы.
В 1986-1988 гг. - клинический ординатор Красноярского государственного медицинского института в Республике Тува.
В 1988-1990 гг. - врач-нарколог республиканского наркологического диспансера, врач-психиатр республиканской психиатрической больницы.
В 1990 году назначен заведующим реабилитационным отделением на сельскохозяйственном участке при республиканской психиатрической больницы психиатрической больницы.
В 1990-1992 гг. - заведующий наркологическим отделением № 2 республиканской психиатрической больницы.
В 1992-1993 гг. - начальник научно-методического информационно-экспертного центра Минздрава Республики Тува.
В 1993-1997 гг. - главный врач краевой психоневрологической больницы № 2 в городе Красноярске.
В 1997-1999 гг. - заместитель начальника управления здравоохранения администрации Красноярского края, затем начальник управления здравоохранения администрации Красноярского края.
В 1999-2017 гг. - начальник Красноярского краевого госпиталя для ветеранов войн. Под руководством Алексея Подкорытова госпиталь для ветеранов войн стал стабильно развивающимся учреждением комплексной реабилитации.
С декабря 2017 года - заместитель председателя Правительства Красноярского края.